Aritmetikos pagrindai. Vartiklis

Aritmetika (iš gr. arithmos - „skaičius“) – matematikos sritis, nagrinėjanti veiksmus su skaičiais, jų santykius bei savybes. Ji atsirado iš praktinių matavimų ir skaičiavimų poreikio. Joje nagrinėjami matavimai, skaičiavimo veiksmai ir metodai. Pagrindiniai ir pirminiai aritmetikos veiksmai yra sudėtis, atimtis, daugyba ir dalyba, tačiau ilgainiui imta nagrinėti ir sudėtingesni veiksmai (procentų skaičiavimai, šaknų traukimas, laipsniai bei logaritminės funkcijos...). Askiromis skaičių savybėmis užsiima atskira aukštesniosios matematikos sritis, vadinama skaičių teorija. Teorinė aritmetika dėmesį sutelkia į skaičiaus apibrėžimą ir jo sąvokos analizę, o formalioji aritmetika užsiima loginių predikatų ir aksiomų sudarymu.

Viduramžiais aritmetika buvo priskiriama vadinamiesiems septyniems laisviesiems menams. Ypač intensyviai ji vystėsi Indijoje ir arabų šalyse, iš kur js idėjos pateko į Europą. Atėjus Naujiesiems laikams, astronomija, navigacija, mechanika ir kt. iškėlė naujus reikalavimus skaičiavimams ir suteikė naują impulsą aritmetikos vystymuisi. 17 a. pradžioje Dž. Neperas išrado logaritmus, o tada P. de Ferma skaičių teoriją išskyrė į atskirą matematikos sritį. Susiformavo nauja iracionalaus skaičiaus samprata, o vėliau įtraukti ir kompleksiniai skaičiai. Tolimesnę aritmetikos istoriją žymi jos pagrindų peržiūrėjimas ir bandymai deduktyviai ją pagrįsti. Formalus aritmetikos apibrėžimo neprieštaringumą 1936 m. įrodė G. Gencenas^*).

Pagrindinė aritmetikos teorema teigia, kad Kiekvieną natūrinį skaičių, išskyrus vienetą, galima išreikšti pirminių daugiklių sandauga vieninteliu būdu.

Pagrindai

Visų natūrinių skaičių 1, 2, 3, 4, ... aibę žymėsime N. Nesigilinsime į filosofinius svaičiojimus dėl jos egzistavimo – pakanka tarti, kad tai aibė, kuri tenkina Peano aksiomas. Tai reiškia, kad aibėje apibrėžtos sudėties ir daugybos operacijos ir joms tenkinami komutatyvumo, asociatyvumo ir distributyvumo reikalavimai. Papildomai įvedamas N sutvarkymas – kad bet kuriems dviem skirtingiems N elementams n ir m galiotų n < m arba n > m
Tada iš aksiomų yra akivaizdu pagal matematinės indukcijos principą, kad bet kuris netuščias N poaibis turi bent vieną narį.

Tada Z žymėsime visų sveikų skaičių aibę, o Q – racionaliųjų, t.y skaičių, turinčių p / q pavidalą, kur p priklauso Z, o q - N. Tada per Koši sekas ir sutvarkytas poras gausime dar ir realiųjų (R) ir kompleksinių skaičių (C) aibes. Visos jos sudaro matematinės analizės pagrindą.

Dalumas

Apibrėžimai. Natūrinis skaičius a dalijasi iš natūrinio skaičiaus b (arba a dalus iš b), jei egzistuoja toks natūrinis skaičius k, kad a=bk.
Natūrinis skaičius b dalo natūrinį a (žymima b|a), jei a dalijasi iš b.
b vadinamas dalikliu, o a – kartotiniu.

Pvz., a=15 ir b=3. 15 dalus iš 3; 3 dalo 15; 3 yra 15-os daliklis, o 15 – 3-jų kartotinis.

Santykis b|a yra refleksyvus (a dalo pats save) ir tranzityvus (jei c dalo b, o b dalo a, tada c dalo a),
tačiau nesimetrinis (jei b|a, tai nebūtinai a|b, pvz, a=15 ir b=3). Iš to seka, kad, jei b|a ir a|b, tada a=b.
Taip pat aišku, kad, jei b|a, tada b £ a, tad natūrinis skaičius turi baigtinį skaičių daliklių.

Dalumo koncepcija lengvai išplečiama sveikų skaičių aibei (Z) su sąlyga b ¹ 0.
Dalybos algoritmas išreiškia faktą, kad bet kuriems a ir b, priklausantiems Z, kai b > 0,
egzistuoja q ir r, priklausantys Z, tokia, kad a = bq + r ir 0 £ r < b
Įrodymas paprastas: Tarkime, kad visi skaičiai yra natūriniai. Tada, jei bq yra toks didžiausias b kartotinis, kuris neviršija a,
tada sveikasis skaičius r=a-bq akivaizdžiai nėra neigiamas, o kadangi b(q + 1) > a, tada r < b
Tai lieka teisinga ir visiems sveikiesiems skaičiams, kai b ¹ 0, o sąlyga r < b pakeista į r < |b|

Skaičių laipsnių liekanos

Pvz., bet kokio sveikojo skaičiaus kvadratą dalindami iš 3 negausime 2.
Iš tikro, galimi trys variantai: a º 0 (mod 3); a º 1 (mod 3); a º 2 (mod 3).
Pakėlę juos kvadratu gausime: a² º 0 (mod 3); a² º 1 (mod 3); a² = 4 º 1 (mod 3).

Papildomai skaitykite: Skaičiai: apžvalga ir pradmenys
Fundamentalioji aritmetikos teorema
Didžiausias bendras daliklis
Pirminiai skaičiai

^*) Gerhardas Gencenas (Gerhard Karl Erich Gentzen, 1909-1945) – vokiečių matematikas ir logikas. Svarus jo indėlis į matematikos pagrindus, įrodymų teorijos vystymą, ypač natūralią dedukciją ir sekvencinį skaičiavimą. 1934 m. išvystė natūralaus įrodymo sistemą, 1935 m. įvedė simbolį

, žymintį visuminę priklausomybę („visi“). 1936 m. įrodė, Peano aksiomų neprieštaringumą (tam teko pridėti papildomą transfinityvios indukcijos aksiomą).
1937 m. įstojo į nacionalsocialistų partiją. Mirė iš bado sovietiniame belaisvių lageryje Prahoje.

Peano aksiomos (arba postulatai) - viena iš natūrinių skaičių aksiomų sistema, pasiūlyta 19 a. italų matematiko Dž. Peano. Jos leido formalizuoti aritmetiką, įrodyti daugelį natūrinių ir sveikų skaičių savybių. Sutrumpintu pavidalu panaudotos daugelio fundamenalių klausimų, tokių kaip skaičių teorijos neprieštaringumo ir pilnumo, nagrinėjimuose.

Pradžioje Peano suformulavo 9-ias aksiomas – iš jų pirmosios 5 yra apie bent vieno element egzistavimą ir teiginiai apie lygybę. Likusios – apie natūrinių skaičių išraišką per eiliškumą bei indukcijos taikymą jiems.

Koši sekos - tai metrinės erdvės elementų seka, kuriai bet kuriam duotam atstumui egzistuoja elementas, pradedant kuriuo visi elementai yra vienas nuo kito mažesniu atstumu nei duotasis atstumas. Seka pavadinta prancūzų matematiko A. Koši garbei.