Matematikos istorija

Trumpa Indijos matematikos istorija  

Taip pat skaitykite: Algebra Indijoje
Skaičių simbolika Vedose

Neabejotinai, matematika, skaičių mokslas nemažai dėkingas senovės Indijos minties proveržiams: nuo nulio iki geometrijos, o ir už vadinamuosius arabiškus skaitmenis taip pat turim būti dėkingi indams.

Indijoje, galima sakyti, matematika prasidėjo su vediškomis apeigomis, kurioms reikėjo geometrinių žinių, kad altoriai būtų teisingai sukonstruoti. Ją toliau vystė džainų ir budistų mokslininkai.

Indija turi ilgą žavėjimosi skaičiais tradiciją, tiek istorinę, tiek mitologinę. Vedanga Džiotiša1) rašo: „Kaip povas turi skiauterę, kaip yra gyvatės brangakmenių2) aukščiausioje kūno dalyje, kaktoje, taip matematika [ganita] yra visų Vedų ir šastrų galva“. Ir kitas teiginys: „Koks objektas beegzistuotų judančiame ar nejudančiame pasaulyje, jis negali būti suprastas be matematikos [ganita] pagrindų“. Po trijų tūkstančių metų tą patį išsakė ir Galilėjus: „Ji [Visata] yra surašyta matematikos kalba ir jos veikėjai yra trikampiai, apskritimai ir kitos geometrinės figūros, be kurių neįmanoma žmoniškai suprasti nė vieno žodžio; be jų bet kuris klaidžioja tamsiame labirinte“.

Matematikos tradicija Indijoje prasidėjo jau Indo slėnyje, kurio kultūrą siejame su Harapos civilizacija, gyvavusia apie 2500 m. pr.m.e. Žinoma, kad ji naudojo vieningą svorių ir matų sistemą. Svorių analizė atskleidė, kad jų prigimtis buvo dešimtainiu pagrindu, pagrindinius svorių santykius išreiškiant kaip 0,05, 0,1, 0,2, 0,5, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200 ir 500. Kasinėjant rasti ir kai kurie ilgių masteliai: vienas jų buvo dešimtainiu pagrindu ir rėmėsi matavimo vienetu lygiu 1,32 colio (3,35 cm), kurį pavadino „indišku coliumi“. Tada 10 tokių vienetų yra lygus 33,5 cm, kas yra labai tikėtina buvus „pėda“. Be to buvo rastas ir bronzinis strypas, sužymėtas 0,367 colio atžymomis. Tada 100 tokių vienetų būtų 36,7 colio (93,2 cm), kas atitiktų „žingsnį“. Kad buvo naudojami tokie matų vienetai, rodo pastatų griuvėsių matavimai.

Nežinome, ar Harapos matematikos žinios buvo vėliau panaudotos Indijoje, tačiau tikrai žinome, kad nuo senų laikų indus žavėjo milžiniški skaičiai. Jei graikai neturėjo pavadinimų skaičiams virš miriado (104), romėnai virš mille (103), tai indai laisvai operavo gerokai didesniais skaičiais. 5 a. budistiniame traktate minima, kaip Gautama Buda vardijo skaičius virš koti šimtainiu masteliu:
„Šimtas koti vadinama ayuta, šimtas ayuta - niyuata, šimtas niyuata - kankara, šimtas kankara - vivara, šimtas vivara - ksobhya, šimtas ksobhya - vivaha, šimtas vivaha - ustanga, šimtas ustanga - babula, šimtas babula - nagabala, šimtas nagabala - tithi lambha ir t.t. iki kitų 12 pavadinimų, besibaigiančių tallaksana“ [taigi tallaksana yra 1053]. Aryabhatta iliustracija

Geometrinių žinių pavyzdžiai sutinkami „Baudhayana sulba sutrose3) “ (800 m. pr.m.e.) ir Apasthamboje4) (400 m. pr.m.e.). „Sulva sutra“ reiškia stygos taisyklės; šis pavadinimas suteiktas „Kalpa sutrų“, aiškinančių vediškųjų altorių statymą, priedui. Ten teigiama: „Deerghčaturš [stačiakampyje] radždžu [įstižainės] četra [kvadratas] yra lygus paršvamani [pagrindo] ir triyangmani [statinio] kvadratų sumai“. Tai juk visiems girdėta Pitagoro teorema!

Apasthambos sutra pateikia kvadratinės šaknies iš dviejų reikšmę penkto reikšminio ženklo po kablelio tikslumu. Apasthamba taip pat nagrinėjo skritulio kvadratinimo, segmento dalijimo į 7 dalis ir tiesinės lygties sprendimo klausimus.

Tačiau vediškuoju laikotarpiu nerandame jokių teoremų įrodymų, o vien teiginius. Tai gali būti todėl, kad matematinės žinios laikytos šventosiomis ir prieinamos tik įšventintiems. Tai galėjo būti pagrindine priežastimi, sukliudžiusia matematikai toliau vystytis brahmaniškuoju laikotarpiu. Ir kaip pasekmė, jokios geometrinės konstrukcijos nepasirodo tolimesniuose tekstuose. Ir tik džainų ir budistų tekstuose imta aptarinėti klausimus greta Vedų.

Sanskritu ganita pažodžiui reiškia skaičiavimą, kuris paprastai buvo daromas ant lentos (pati) su kreidos gabalu arba smėlio (dhuli). Tad terminai Pati-Ganita ir Dhuli-Karma (darbas ant smėlio) imti naudoti aukštesniajai matematikai. Ankstyvuosiuose budistiniuose tekstuose sutinkame tris ganita tipus: Ganita Mudra - aritmetika ant pirštų, Ganana - aritmetika mintyse ir Samkhyana - aukštesnioji matematika.

Džainai ir budistai užsiėmė skaičių teorija, kvadratinėmis ir kubinėmis lygtimis, statistika. Jie turėjo ir tokių idėjų kaip begalybė sampratą. Džainai pirmieji atsisakė minties, kad visos begalybės vienodos ir lygios: jie turėjo 4-is begalybių tipus: ilgio begalybė (vieno matavimo), ploto begalybė (dviejų matavimų), tūrio begalybė (trijų matavimų) ir begalinė begalybė (begalinio matavimų kiekio). 6 a. pr.m.e. džainų tekstai (kaip „Surya Pragyapti“) apibrėžia elipses.
Budistams skaičiai buvo 3 tipų: Sankheya (suskaičiuojami), Asankheya (nesuskaičiuojami) ir Anant (begaliniai). Budistų susirūpinimas Šunya galėjo paskatinti nulio koncepcijos įvedimą. Nors nulis () kaip tuščia erdvė pozicinėje skaičiavimo sistemoje atsirado anksčiau, algebrinis nulio apibrėžimas pasirodo tik Brahmaguptos veikaluose (7 a.)

Atrodo, kad ankstyviesiems džainams patiko kombinatorika ir perstatos. Džainizmo pradininkas Mahavira pats buvo matematiku. „Bhagawati sutra“ pateikiami 4-ios paprasti uždaviniai: kiek kombinacijų galima sudaryti iš pagrindinių filosofinių kategorijų imant po vieną, po dvi, po tris ir daugiau. Džainų komentatorius Silanka mini tris taisykles susijusias su perstatomis ir kombinacijomis. Džainai buvo ir pirmieji, apmąstę transfinityvaus skaičiaus5) koncepciją (Europoje 19 a. įvestą Kantoro).

Šiuos dalykus apibendrino ir išplėtė Aryabhatta (476-550). Tarp daugelio jo pasiekimų buvo trigonometrijos („Surya Siddhanta“ mini zia (sinusą), kotizia (kosinusą) ir kt.; net trigonometrija kilusi iš „trikonomiti“ - trikampis) įtraukimas, tikslesnis p (pi) įvertinimas (3.1416. Jo Žemės apskritimo (62832 mylios) ir saulės metų trukmės (13 min. paklaida) paskaičiavimas buvo gana artimi tikriems. Atlikdamas tokius paskaičiavimus Aryabhatta turėjo panaudoti naujoves. Tarkim, nustatydamas tikslų Mėnulio užtemimo laiką jis nežymiam Mėnulio judesiui privalėjo panaudoti be galo mažų dydžių (tatkalika gati) koncepciją, - tai išreikšdamas diferencialinės lygties forma.

Toliau tęsė Bhaskara I6), aptardamas planetų ilgumų, patekėjimo, tarpusavio ir su ryškesnėmis žvaigždėmis konjunkcijų ir kitus astronominius klausimus. Tam jis išplėtė trigonometrijos panaudojimą ir net nustatė, kad p yra iracionalus skaičius. Jo sinuso skaičiavimo formulė buvo tiksli 99%. Taip pat jis nagrinėjo lygtis turinčias ne vieną sprendinį ir pirmą kartą aptarė keturkampius, kurių visos kraštinės skirtingų ilgių.

Kitu žymiu astronomu ir matematiku buvo Varahamira (6 a.), kuris sukompiliavo ankstesnius astronominius tekstus ir papildė Aryabhatta trigonometrines formules. Jo darbai kompinatorikos ir perstatų srityje papildė džainų pasiekimus. 7-e a. Brahmagupta (g. 598 m.) išdėstė pagrindinius algebros principus. 628 m. jis parašė „Brahma-sphuta-siddhanta“ (Peržiūrėtą Brahma sistemą), kur be nulio savybių išvardijo ir neigiamų skaičių savybes, kuriuos naudojo sudėtyje, atimtyje ir daugyboje. Jo darbai su kvadratinėmis lygtimis su keliais sprendiniais užbėgo už akių Oilerio ir Lagranžo darbams. Be to, Brahmagupta nusipelnė, nurodydamas kvadratinės lygties bendrą sprendinį . Jis pateikė ir alternatyvų Pitagoro teoremos įrodymą.
Ir dar indai suprato, kad visi skaičiavimai gali būti atliekami panaudojant žymenis – ir sanskrito abėcėlė buvo panaudota žymėti nežinomiesiems.

Taip pat dirbta taikomosios matematikos srityje, pvz., sudarant trigonometrines lenteles bei matavimo vienetus. Yativrsabha7) veikale „Tiloyapannatti” (6 a.) pateikiami įvairūs matavimo ilgio ir laiko vienetai, o taip pat aprašoma begalinio laiko matavimo sistema.

Indiški skaitmenys 7-11 a. indiški skaitmenys įgavo šiuolaikinę formą. Aryabhattos lygtis vystė Mandžula (10 a.) ir Bhaskaračarya (12 a.), išvedęs sinuso kampų skirtumo formulę ( ). Jo kūriniai: „Lilavati”, “Bidžaganita” ir “Siddhanta Širomani” (skirtas astronomijai). „Lilavati” skirta paprastiems žmonėms (Lilavati – jo žmona ar dukra) – tai aritmetikos, algebros, geometrijos ir matavimo uždavinių pavyzdžiais.

Tipiniu pavyzdžiu yra:
„O elniaake! Pasakyk, jei 1/6 avilio bičių suskrido į jazminą, 1/3 – į kadamba medį, 1/4 0- į mango medį, 1/5 – į sampaka žiedų medį, 1/30 – į nuostabius lotosus apšviestus saulės spindulių, o likusi viena bitė dūzgia aplink, kiek viso bičių buvo avilyje?“
Dabar, nežinomąjį pažymėję x, išspręstume taip:
x - x/6 – x/3 – x/4 - x/5 – x/30 = 1 ; arba x/60 = 1; taigi, x = 60

O ir šiaip, kai kurie uždaviniai skamba tarsi poezija. Tad nenuostabu, kad „Lilavati” ne tik buvo naudojama Indijoje ištisus 800 m., bet ir verčiama ir komentuojama į kitas kalbas. Kaip ir poezija, matematika turi savo grožį. Platonas yra sakęs:
„Aritmetika turi didelį pakylėjantį poveikį, patraukdamas sielą prie mąstymo apie abstrakčius skaičius atsisakant regimų ir apčiuopiamų dalykų“. Šiuo kūriniu Bhaskara II gali būti prilyginimas Omarui Chajamui – ir tokiso knygos sukūrimas buvo įmanovas tik todėl, kad Indija turėjo ilgalaikę matematinę kultūrą.

Vėlesni matematikai naudojo intuityvią integravimo sampratą skaičiuodami kreivų paviršių plotus bei jų apribotus tūrius. Matematikos vystymasis ėmė lėtėti 8 a. ir tai susiję su budizmo pozicijų nusilpimu Indijoje. 12 a. islamo invazija beveik išstūmė budizmą; prasidėjo „tamsieji laikai“. Matematikos studijos pasislinko į Indijos pietus. Bet tuo pat metu indų matematiniai tekstai imti versti į arabų kalbą.

Paaiškinimai

1) Vedanga Džiotiša - vienas ankstyviausių Indijos tekstų apie astronomiją (5-4 a. pr.m.e.). Jo autoriumi laikomas Lagadha. Traktate aprašoma Saulės ir Mėnulio judėjimo paskaičiavimo taisyklės, kad būtų nustatomi Vedų apeigų atlikimo laikai. Mus pasiekė dvi versijos. Abi sudaro po 36 dvieilį: viena šliejasi prie Rigvedos, o kita – Jadžurvedos.
Taip pat skaitykite >>>>>

2) Gyvatės akmuo, dar vadintas Gyvatės perlu, Juoduoju akmeniu ir pan. – gyvūno kaulas ar akmuo, naudotas daugelyje regionų (taip pat ir Indijoje) prieš gyvačių įkandimus.

3) Baudhayana sutros - vediškųjų tekstų grupė. Vienos jų yra „Šulba sutra“ („šulba“ – styga, virvė), tekstai, skirti Šrautos apeigoms ir turintys geometrijos žinių apie ugnies altoriaus pastatymą. Jame yra žinių ir apie Pitagoro teoremą. Trijose sutrose sutinkamas ir šaknies iš 2 įvertis. Daugau žr. >>>>>

4) Apastamba Dharmasutra - vienas iš seniausių induizmo tekstų apie dharma (1 tūkstm. pr.m.e.), vienas iš trijų išlikusių Krišnos Jadžurvedos taitirijos mokyklos tekstų. Jis išskirtinas gana liberaliu požiūriu į moteris ir visas socialines klases. Jos paskutinė (30) prašna yra Šulbasutra (altorių statymo matematika).

5) Transfinityvus skaičius - tai „begaliniai“ skaičiai ta prasme, kad yra didesni už visus baigtinius skaičius, tačiau nebūtinai absoliučiai begaliniai. Jiems priklauso transfinityvūs kardinaliniai skaičiai, naudojami nusakyti begalinių aibių apimtį, ir transfinityvūs paprasti skaičiai, naudojami begalinių aibių sutvarkymui. Terminą „transfinityvus“ 1915 m. įvedė G. Kantoras, nenorėdamas kai kurių galimų termino „begalinis“ naudojimo implikacijų sąryšyje su tais objektais, kurie vis tik nėra baigtiniai. Dabar labiau įprasta juos vadinti begaliniais, tačiau termino „transfinityvus“ naudojimas išlikęs.
Taip pat žr. >>>>>

6) Bhaskara (apie 600-680) – indų astronomas. Jo didžiausiu indėliu laikoma pozicinė skaičių sistema. Iki jo pozicinės sistemos skaitmenys buvo išreiškiami žodžiais. Jis pradėjo naudoti pirmuosius 9-is Brahmos skaitmenis, nuliui panaudojant mažą apskritimuką. Jo 8-ių dalių „Mahabhaskariya“ skirta matematinei astronomijai; 7-me skyriuje pateikia aproksimacijos formulę sin x reikšmei.
1979 m. Indija jo garbei iškėlė dirbtinį Žemės palydovą „Bhaskara I“.
Nereikia painioti su 12 a. matematiku Bhaskara II.

7) Yativrsabha dar vadinamas Džadivasaha - džainų vienuolis ir matematikas, gyvenęs, kaip manoma, 6 a. Parašė „Tiloyapannatti“, aprašančia kosmologiją džainizmo religijos ir filosofijos požiūriu. Traktate taip pat pateikiami įvairūs atstumo ir laiko matavimo vienetai, o taip pat pateikiama kitokia begalybės koncepcija.

Algebros istorija
Gyvenimo gėlelė
Eudoksas iš Knido
Hiparchas iš Rodo
Aritmetikos pagrindai
Euklidas iš Aleksandrijos
Skaičių simbolika Vedose
Matematika Egipte ir Finikijoje
Iniciatyva: Matematikos keliu
Hipatija – pirmoji matematikė
Matematikos pradžia Lietuvoje
Kas tie romėniški skaitmenys?
Truputis apie skaičių psichologiją
Australijos aborigenų matematikos samprata
Matematika Egipte: Rindo papirusas ir kt.
Senovės Graikijos skaičiuotuvas
Graikų matematikai - filosofai
Kalendorius senovės Egipte
Pi keliai ir klystkeliai
Dioklas ir jo cizoidė
Ar viskas čia taip?
Prometėjo pėdsakas
Kvadratinė lygtis
Pitagoro teorema
Dalyba iš nulio
Nulio istorija
Vartiklis